Bài 23 trang 90 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Viết phương trình mặt phẳng song song với mặt phẳng $4x + 3y - 12z + 1 = 0$ và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình: ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

Lời giải chi tiết

Ta có ${x^2} + {y^2} + {z^2} - 2x - 4y - 6z - 2 = 0$

$\Leftrightarrow {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = 16$
Mặt cầu có tâm $I\left( {1;2;3} \right)$ bán kính R = 4.
Mặt phẳng (P) song song với mặt phẳng đã cho nên có phương trình $4x + 3y - 12z + D = 0$ với $D \ne 1$.
Mp(P) tiếp xúc với mặt cầu khi và chỉ khi khoảng cách d từ điểm I đến mp(P) bằng bán kính R.

$d = {{\left| {4 + 6 - 36 + D} \right|} \over {\sqrt {16 + 9 + 144} }} = 4 \Leftrightarrow {{\left| { - 26 + D} \right|} \over {13}} = 4$ $\Leftrightarrow \left[ \matrix{ - 26 + D = 52 \hfill \cr  - 26 + D = - 52 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ D = 78 \hfill \cr  D = - 26 \hfill \cr} \right.$

Vậy có hai mặt phẳng thỏa yêu cầu là: $4x + 3y - 12z + 78 = 0$

$4x + 3y - 12z - 26 = 0$

HocTot.Nam.Name.Vn