Bài 21 trang 60 SGK Hình học 12 Nâng cao

Đề bài

Cho tam giác $ABC$ vuông tại $A, AB = c, AB = b$. Tính thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác đó (kể cả các điểm trong) khi quay quanh đường thẳng $BC$.

Quảng cáo

Lời giải chi tiết

Gọi $AH$ là đường cao của tam giác $ABC$.

Ta có: ${1 \over {A{H^2}}} = {1 \over {A{B^2}}} + {1 \over {A{C^2}}} = {1 \over {{b^2}}} + {1 \over {{c^2}}}$ $\Rightarrow A{H^2} = {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}$

Hai tam giác $ABH$ và $ACH$ khi quay quanh $BC$ lần lượt tạo thành hai khối nón ${H_1},{H_2}$ có thể tích lần lượt là

${V_1} = {1 \over 3}\pi A{H^2}BH\,\,,\,\,{V_2} = {1 \over 3}\pi A{H^2}CH$

Thể tích của khối tròn xoay sinh bởi tam giác $ABC$ khi quay quanh $BC$ là:

$\eqalign{ & V = {V_1} + {V_2} \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BH + {1 \over 3}\pi A{H^2}CH \cr&= {1 \over 3}\pi A{H^2}BC \cr  & = {1 \over 3}\pi {{{b^2}{c^2}} \over {{b^2} + {c^2}}}\sqrt {{b^2} + {c^2}} \cr&= {{\pi {b^2}{c^2}} \over {3\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} \cr}$

HocTot.Nam.Name.Vn