Bài 16 trang 22 SGK Đại số và Giải tích 12 Nâng cao

Đề bài

Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số: $f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x$

Lời giải chi tiết

TXĐ: $D=\mathbb R$

$\begin{array}{l} f\left( x \right) = {\sin ^4}x + {\cos ^4}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x} \right)^2} + {\left( {{{\cos }^2}x} \right)^2} + 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = {\left( {{{\sin }^2}x + {{\cos }^2}x} \right)^2} - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \frac{1}{2}.4{\sin ^2}x{\cos ^2}x\\ = 1 - \frac{1}{2}{\left( {2\sin x\cos x} \right)^2}\\ = 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \end{array}$

Ta có:

$\begin{array}{l} {\sin ^2}2x \ge 0 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 0\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le 1 - 0 = 1 \end{array}$

$\Rightarrow f\left( x \right) \le 1$ với mọi $x \in {\mathbb{R}}$

Mà $f\left( 0 \right) = 1$.

Vậy $\mathop {\max }\limits_{\mathbb {R}}  f\left( x \right) = 1$

Lại có,

$\begin{array}{l} {\sin ^2}2x \le 1 \Rightarrow \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \le \frac{1}{2}\\ \Rightarrow 1 - \frac{1}{2}{\sin ^2}2x \ge 1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\\ \Rightarrow f\left( x \right) \ge \frac{1}{2} \end{array}$

với mọi $x \in {\mathbb{R}}$

Mà $f\left( {{\pi  \over 4}} \right) = 1 - {1 \over 2} = {1 \over 2}$

Vậy $\mathop {\min f\left( x \right)}\limits_{x \in {\mathbb {R}}}  = {1 \over 2}$.

HocTot.Nam.Name.Vn